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Gliederung:
· Das Leben Pythagoras ( s. S. 3 )
· Die Historie ( s. S. 4 )
· Der 2. Satz des Pythagoras ( s. S. 4 )
· Euklid ( s. S. 5 )
· Der Kathetensatz des Euklid ( s. S. 6 )
· Der Höhensatz des Euklid ( s. S. 7 )
· Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras ( s. S. 8 )
· Beweismöglichkeiten für den Lehrsatz des Pythagoras ( s. S. 9 )
· Weitere mathematische Sätze und Bergriffe im ( s. S. 12 )
Zusammenhang mit dem Lehrsatz des Pythagoras
· Anwendungsbeispiele ( s. S. 13 )
PYTHAGORAS
Das Leben Pythagoras:
Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der griechischen
Insel Samos, von seiner Mutter Pythais geboren und wuchs dort auch auf. Über
seinen Vater gibt es nur Vermutungen: Er soll Menesarchos geheißen haben und
entweder Goldschmied oder Kaufmann gewesen sein. Anderen Legenden zufolge ist
Apollon (griechischer Gott des Rechtes, der Ordnung und des Friedens) der Vater
von Pythagoras.
Als erwachsener Mann reiste er durch die Welt und
eignete sich bedeutendes Wissen an. In Persien studierte er schließlich
Mathematik und Religion. Von dort erhielt er vermutlich auch sein erstes Wissen
über den heutzutage nach ihm bekannten Satz: a2 + b 2 = c2
.
Pythagoras kehrte nach seinem Studium wieder nach
Samos zurück, wo zu dieser Zeit der Tyrann und Seeräuber Polykrates ( 528- 522
v. Chr. ) herrschte. Deshalb wanderte er um 525 v. Chr. nach Kroton in
Unteritalien- dem damaligen Großgriechenland aus und gründete dort eine
Bruderschaft, deren Mitglieder sich später Pythagoräer nannten, und die sowohl
politisch als auch religiöse Ziele verfolgten. Zunächst lehrte er jedoch die
Elemente des anständigen Lebens, darunter die Achtung vor den Eltern, die
Absage an die Trägheit und das Streben nach Geistesbildung und Gerechtigkeit.
Im Laufe der Zeit erwarben die Pythagoräer
Kenntnisse in ihren Lehrfächern Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik,
den vier Wissenschaften, die an den Universitäten des Mittelalters das
Quadrivium bildeten, dessen Studium sich dem der trivialen Wissenschaften
Grammatik, Rhetorik und Logik anschloß.
Pythagoras selber interessierte sich, wie nicht anders zu erwarten, am meisten für
die Mathematik. Deshalb gründete er die Pythagoreische Philosophieschule, die
bis etwa 485 v. Chr. bestand. Sie erfüllte jedoch vielmehr den Zweck einer
religiösen Lebensgemeinschaft.
Unter seinen Schülern galt er als der Göttliche,
denn sie wagten es nicht seinen Namen auszusprechen. ,,Die reine Wahrheit sei
nur ihm zugänglich" so Pythagoras. Die Folge war, dass eine Vielzahl von
mysteriösen Geschichten über Pythagoras erzählt wurden.
Zu bemerken ist noch, dass Pythagoras ein Schüler
von Thales von Milet war (griechischer Philosoph und Mathematiker, Begründer
der ionischen Naturphiosophie, Thales- Satz[2],
erste Hälfte des 6. Jahrhunderts).
Pythagoras starb um 480 v. Chr.- wahrscheinlich in
Metaponto ( am Golf von Tarent) .
Historie:
Zur Entstehung des Lehrsatzes gibt es keinerlei
gesicherte Erkenntnisse. Es können nur Vermutungen
angestellt werden. Man glaubt, dass der Lehrsatz bereits vor Lebzeiten
Pythagoras in anderen Hochkulturen bekannt war:
Bereits in Ägypten zur Zeit des Königs Amenema I.
(um 2300 v. Chr. ) war das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5
bekannt.
Die sogenannten
„Seilspanner“, die Harpenodapten hatten die Aufgabe rechtwinklige Dreiecke mit
den Seitenlängen 3, 4, 5 zu konstruieren. Dazu bedienten sie sich eines 12
Längeneinheiten langen Seils, das im Abstand einer Längeneinheit einen Knoten
hatte und an beiden Enden zusammen geknotet wurde. Wird das Seil nun am ersten,
vierten und achten Knoten festgehalten und gespannt, entsteht ein rechter
Winkel.
Bei genauem betrachten der Vorgehensweise der „
Seilspanner“ kann man feststellen, dass es sich hier nicht um den
pythagoreischen Lehrsatz handelt, sondern um seine Umkehrung. Denn die „Seilspanner“ gehen von der Gleichung 32+
42= 52 aus und folgern daraus, dass das Dreieck
rechtwinklig ist. Es ist also offensichtlich, dass die Umkehrung des
pythagoreischen Lehrsatzes älter ist als der Satz selbst!
Der 2.Satz
des Pythagoras:
Um die Umkehrung des pythagoreischen Lehrsatzes zu
verstehen muss man zuerst einmal den Lehrsatz selbst verstanden haben.
a2
+ b2 = c2
Mit a, b und c sind die Seiten eines rechtwinkligen
Dreieckes gekennzeichnet. A und b werden auch als „ Katheten“ bezeichnet und c
als „ Hyotenuse“ . Groß A, B
und C sind die Ecken eines rechtwinkligen Dreieckes.
Die Quadrate
a2 +b2 =c2 kommen so zustande:
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate
über den Katheten ( oder der Kathenquadrate) gleich dem Quadrat über der
Hypotenuse ( oder dem Hyptenusenquadrat).
Der Satz des Pythagoras sagt also aus, dass am rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hyptenusenquadrat ist.
Euklid:
Der griechische Mathematiker Euklid von Alexandrien,
ca. 365 bis 300 v. Chr. , erklärt Pythagoras Lehrsatz etwas anders und für mich
verständlicher:
Im rechtwinkligen Dreieck heißt die Dreiecksseite,
die dem rechten Winkel gegenüber liegt, Hypotenuse.
Die Seiten, die am rechten Winkel anliegen, heißen Katheten.
Häufig zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck so:
Da ¡ ein rechter Winkel ist,
gilt in diesem Dreieck a + b = 90o.
__
Die Strecke CD = h ist die Höhe zur Hypotenuse c
Die Höhe h teilt den Winkel ¡ in zwei Teilwinkel ¡1 und ¡2 und die Hypotenuse in zwei
Teilstrecken AD= q und DB= p (
Hypotenusenabschnitte ).
Durch das Einzeichnen von h im rechtwinkligen Dreieck ABC entstehen zwei weitere rechtwinklige Dreiecke, nämlich CAD und BCD.
In den rechtwinkligen Dreiecken CAD und BCD gilt für
die Winkel a und ¡1 bzw. b und ¡2 :
a + ¡1 = 90o ( im
Dreieck CAD ) und ¡2 + b =90o ( im Dreieck BCD ) .
Sowohl b ( im Dreieck ABC ) als auch
¡1 ( im Dreieck CAD) ergänzen
den Winkel a zu 90o; daraus folgt
¡1 = b;
Sowohl a ( im Dreieck ABC ) als auch ¡2 ( im Dreieck BCD) ergänzen
den Winkel b zu 90o; daraus
folgt ¡2 = a.
Es gilt also: Die rechtwinkligen Dreiecke ABC, CAD
und BCD besitzen jeweils die Winkel a, b und 90o. Da die Dreiecke in ihren
Winkeln übereinstimmen gilt:
Die
rechtwinkligen Dreiecke ABC,CAD und BCD sind ähnlich.
Es wird deutlich, welche Seiten der ähnlichen
Dreiecke ABC, CAD und BCD einander entsprechen.
Da in ähnlichen Dreiecken das Verhältnis entsprechender
Seiten gleich ist, gelten die Verhältnisgleichungen
Die zugehörigen Produktionsgleichungen lauten:
(I)
b2 = c x q
(II)
a2 = c x p
(III)
h2 = p x q
Das Produkt c x q läßt sich als Flächeninhalt eines
Rechtecks deuten, b2 als der eines Quadrates, usw.
Die Aussage in der Gleichungen (I) und (II) ist der
Kathetensatz
des Euklid:
In einem rechtwinkligen Dreck mit der Hypotenuse c, den Katheten b und
a und den Hypotenusenabschnitten q und p gilt
b2 = c x q und a2
=c x p.
Geometrische
Deutung:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt eines Quadrates über der
Kathete gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks aus der Hypotenuse und der
Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt.
Die Aussage in der Gleichung (III) ist der
Höhensatz
des Euklid:
In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Höhe h und
den Hypotenusenabschnitten q und p gilt h2 = p x q
Geometrische
Deutung: In einem rechtwinkligen
Dreieck ist der Flächeninhalt eines Quadrates über der Höhe gleich dem
Flächeninhalt des Rechtecks aus den beiden Hypotenusenabschnitten.
Über Pythagoras schreibt Ludwig Börne: ,,Als er den Satz
gefunden hatte, soll er den Göttern hundert Ochsen geopfert haben. Seitdem
zittern alle Ochsen, sooft eine neue Wahrheit entdeckt wird."[3]
Über sich selbst sagt Pythagoras von Samos, er sei
ein Sonderwesen zwischen Mensch und Gott. Diese Aussage verdeutlicht zugleich
die Unklarheit, die seiner Person zugrunde liegt. Die Pythagorasüberlieferung
ist nicht ganz zuverlässig: Was ist Legende und welcher Anteil entspricht der
Wahrheit? Meist werden die oben aufgeführten Daten zu seiner Person aufgeführt,
sie sind aber keineswegs unumstritten.
Die
Umkehrung des Satzes von Pythagoras:
Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras lautet:
Wenn ein Dreieck ABC ein Dreieck mit den Seiten a,
b, c ist und die Beziehung a2+b2 = c2 gilt,
dann ist das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit [AB] als Hypotenuse.
Beweisidee:
Wir gehen von einem rechtwinkligen Dreieck mit den
Katheten a und b aus und zeigen, dass dieses kongruent[4]
zu dem im Satz formulierten Dreieck ist.
![Textfeld: Sei A`B`C` dasjenige rechtwinklige Dreieck mit rechten Winkel bei C`, für dessen Katheten [A`C`] und [B`C`] gilt:
|A`C|`= b und |B`C`| = a
Da der Satz des Pythagoras auf Dreieck A`B`C` zutrifft, gilt für dessen Hypotenuse:
|A`B`|2 = |A`C`|2 + |B`C`|2, also |A`B`|2 = a2 + b2.
Wegen der Voraussetzung c2 = a2+b2 folgt hieraus |A`B`|2 = c2, was nur für |A`B`| = c möglich ist.
Damit stimmen Dreieck A`B`C` und Dreieck ABC in allen drei Seiten überein. Sie sind demnach kongruent, was zur Folge hat, dass auch Dreieck ABC rechtwinklig ist mit [AB] als Hypotenuse.](PYTHAGORAS_Schuelerin2-Dateien/image017.gif)
Beweismöglichkeiten
für den Lehrsatz des Pythagoras:
Wie bereits erwähnt, war der Lehrsatz schon vor
Pythagoras Lebzeiten bekannt. In den altbabylonischen, ägyptischen, indischen
und chinesischen Texten mathematischen Inhalts werden in der Regel konkrete
Aufgaben gestellt, deren Lösungen in Form von rezeptartigen Rechenvorschriften
mitgeliefert werden. Dabei wird die Lösung in vielen Fällen zwar mit konkreten
Zahlen durchgeführt, ist aber so konzipiert, daß sie sich unmittelbar
verallgemeinern läßt. Ebenso werden Begründungen - falls sie überhaupt gegeben
werden - nur für den konkreten Fall formuliert, oder man beschränkt sich auf
eine beigefügte Figur und den berühmten Hinweis: "Siehe!".
In Griechenland war wohl Pythagoras von Samos einer
der ersten, der ein Berechnungsverfahren für spezielle pythagoreische
Zahlentripel angab, ob er den nach ihm benannten Lehrsatz für beliebige
rechtwinklige Dreiecke gekannt hat, ist allerdings nicht bekannt, da keine
schriftlichen Aufzeichnungen darüber existieren. Der älteste bekannte
schriftliche Beweis des Satzes aus Griechenland stammt von Euklid (um 365 v.
Chr. geb.)(s. oben) Griechische Mathematiker vor Euklid dürften allerdings
bereits einen Ähnlichkeitsbeweis für den Pythagorassatz gekannt haben.
Für den Lehrsatz des Pythagoras kennt man heute über
400 Beweise. Diese sind durch die Hilfsmittel gekennzeichnet sind, die zum
Beweis herangezogen werden:
(1) Kriterien für die Flächeninhaltsgleichheit von
Dreiecken (euklidische Methode)
(2) Geom. Abbildungen, welche den Flächeninhalt
nicht verändern (abbildungsgeometrische Methode)
(3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit
(4) Prinzip der Ergänzungsgleichheit
(5) Arithmetische Beweise (durch rein algebraische
Operationen und Umformungen)
(6) Ähnlichkeitsbeziehungen
(7) Vektorielle Methoden
(8) Methoden der analytischen Geometrie
http://wmax04.mathematik.uni-wuerzburg.de/didaktik/pythagoras/
Einen Beweis führe ich hier weiter aus:
Zerlegungsbeweis für den Satz des Pythagoras:
Beweisidee:
Wir zeigen, dass wir aus der linken Figur, deren
Flächeninhalt a2 + b2 beträgt, durch geeignete Zerlegung
und anschließender
Drehung, ein flächneninhaltsgleiches Quadrat c2
erhalten.
Aus der Kongruenz der dunklen Dreiecke und der 90º-Drehung folgern wir zunächst, daß alle vier Seiten c des Vierecks gleich lang sind.
Ferner hat das Viereck wegen der Drehung bei A und B
je einen rechten Winkel, und der Winkel bei C ist auch ein rechter, denn er
setzt sich aus den beiden im Dreieck ADE gekennzeichneten Winkeln, die 90º
betragen, zusammen. Also ist das Viereck ACBD ein Quadrat. Daher können wir für
die Flächenquadrate über den Seiten der rechtwinkligen Dreiecke folgern:
a2 + b2
= c2
Dieser alter indischer Beweis wird "Stuhl der
Braut" oder auch „Brautstuhl“
genannt.
Zur Übung[5]
Weitere mathematischen Sätze und
Begriffe im Zusammenhang mit dem Lehrsatz des Pythagoras:
Ergänzungsgleiche
Figuren sind flächeninhaltsgleich[6]
Anwendungsbeispiele:
In der Seefahrt ist der Sextant ein altes Navigationsinstrument. Mit
Hilfe dieses Instrumentes kann „die Höhe“ eines Sternes gemessen werden und über
Winkeltabellen und komplizierte Berechnungen eine Positionslinie errechnet
werden. Die Grundlage dafür ist der Lehrsatz des Pythagoras a2 + b2 = c2
Mit dem Sextanten kann außerdem die Entfernung zu
einem Objekt, dessen Höhe man kennt, gemessen werden: In Seekarten sind die
Höhen markanter Landschaftspunkte, hoher Gebäude und Leuchttürmen eingetragen.
Über die Winkelbestimmung kann mit Hilfe des Pythagoras Satzes die Entfernung
errechnet werden.
Sogar ein Baumarkt bietet den Satz des Pythagoras
als Hilfe an, um einen Carport zu bauen[7].
Um
die Positionen der Pfosten zu bestimmen, bedient man sich des Satzes von
Pythagoras: a2+ b2 = c2. Die Gleichung geht auf, wenn Sie für a, b und c die
Zahlen 3, 4 und 5 oder ein Vielfaches davon einsetzen. Tragen Sie auf einer
Latte drei gleiche Teilstrecken ab, auf einer zweiten vier und auf einer
dritten fünf (z. B. 3 x 50 cm, 4 x50 cm und 5 x 50 cm). Wenn Sie die Latten an
den Endpunkten verbinden, bilden sie automatisch ein rechtwinkliges Dreieck. Je
größer Sie den Lattenwinkel bauen, desto genauer läßt es sich damit arbeiten.
